問題
3次方程式 \(x^3+7x+5=0\) の3つの解を \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) とするとき, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) の値を求めなさい。
注目ポイント！
方程式とその解が与えられている
解答への第一歩
解説
\(f(x)=x^3+7x+5\)とおく。
与えられた方程式の解 \(\alpha, \beta, \gamma\) を代入すると,
\(\begin{equation}
f(\alpha) = \alpha^3+7\alpha+5･･･①\\
f(\beta) = \beta^3+7\beta+5･･･➁\\
f(\gamma) = \gamma^3+7\gamma+5･･･③
\end{equation}\)
となる。
ここで、\(f(\alpha) = 0, f(\beta) = 0, f(\gamma) = 0 \) であるから,
①～③を足すと
\(\begin{eqnarray}
\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 7(\alpha + \beta + \gamma) + 15 &=& 0 \\
\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 &=& -7(\alpha + \beta + \gamma) - 15
\end{eqnarray}\)
ここで3次方程式の解と係数の関係より\(\alpha + \beta + \gamma = 0\)だから,
\(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -7・0 - 15 = -15\)
別解
3次方程式の解と係数の関係から, \(\alpha + \beta + \gamma = 0\), \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 7\), \(\alpha\beta\gamma = -5\)
と分かる。
このことを踏まえて, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) を変形させると,
\(\begin{eqnarray}
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 &=& (\alpha + \beta + \gamma)^3 - 3(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)(\alpha + \beta + \gamma) + 3\alpha\beta\gamma\\
&=& 0^3-3・7・0+3(-5)\\
&=& -15
\end{eqnarray}
\)