新潟県令和2年実施教員採用試験問題(数学科)解答・解説

問題

定積分 \(\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+1} dx\) を求めなさい。

今回の問題では, 積分の公式より\(\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| + C\)(分子が分母の微分した形の積分), \(\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\)(分母が二乗の和である積分)を利用する。

\(\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+1} dx &=& \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx \\ \\ &=& \int_0^1 \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} \\ \\ &=& \left[x^2+1\right]^1_0 + \left[\tan^{-1} x \right]^1_0 \\ \\ &=& \left(\log_e{2} - \log_e{1}\right) + \left(\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0\right) \\ \\ &=& \log_e{2} + \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}\)