| 大問 |
小問 |
問題内容 |
| [1] |
次の(1)～(8)に答えなさい。 |
| (1) |
3次方程式 \(x^3+7x+5=0\) の3つの解を \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) とするとき,
\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) の値を求めなさい。 |
| (2) |
\(\angle A=90^\circ\) である直角三角形 \(ABC\) において, \(AB=2\), \(CA=1\), \(\angle A\) の三等分線が
辺 \(BC\)と交わる点のうち \(B\) に近い点を \(D\) とする。
この時, \(AD\) の長さを求めなさい。 |
| (3) |
5人を3つの部屋 \(A\), \(B\), \(C\) に入れる方法は何通りあるか。ただし, 各部屋には少なくとも1人は入るものとする。 |
| (4) |
平面上の \(\triangle\)\(ABC\) と任意の点 \(P\) に対し,
ベクトル方程式 \(\vec{PA}・\vec{PB}=-\vec{PA}・\vec{PC}\) はどのような図形を表すか。 |
| (5) |
曲線 \(y=x\log{x}\) に接し, 傾きが3である直線の方程式を求めなさい。 |
| (6) |
定積分 \(\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+1} dx\) を求めなさい。 |
| (7) |
期待値が6, 分散が2の二項分布に従う確率変数を\(X\)とする。\(X=k\) となる確率を \(P_k\) とするとき, \(P_5\) は \(P_4\) の何倍か。 |
| (8) |
下の図のように, 一直線上に3点 \(A\), \(B\), \(C\) があり, \(AB=2\), \(BC=3\) である。 \(BP=\sqrt{6}\)を満たす点\(P\)の1つを,
定規とコンパスを用いて, 作図によって求め, その点に●をつけなさい。
|
| [2] |
次の(1), (2)に答えなさい。 |
| (1) |
\(x\) を実数とするとき, \(t=2^x+2^{-x}\) の取り得る値の範囲を求めなさい。 |
| (2) |
\(a\) を実数定数とする。 \(x\) の方程式 \(4^x+4^{-x}+2a(2^x+2^{-x})-3a+6=0\) が
異なる4つの実数解をもつような, \(a\) の値の範囲を求めなさい。 |
| [3] |
座標平面上で, 原点 \(O\) で \(x\) 軸に接し, 点 \((0,1)\) を中心とする半径1の円を \(C\) とする。第1象限にある \(C\) 上の点 \(A\) と
原点Oを通る直線と \(x\) 軸の正の向きとのなす角を \(\theta\) とする。
また, \(C\) 上の点\(B\) を, \(C\) の点 \(A\) における法線が \(\angle OAB\) の二等分線となるようにとる。
このとき, 次の(1)～(3)に答えなさい。 |
| (1) |
\(\triangle\)\(OAB\) は二等辺三角形であることを証明しなさい。 |
| (2) |
\(\triangle\)\(OAB\) の面積 \(S\) を \(\theta\) を用いて表しなさい。 |
| (3) |
\(\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{S}{\frac{\pi}{2}-\theta}\) を求めなさい。 |
| [4] |
\(a\) を正の定数とする。複素数\(w=\frac{z}{2}+\frac{a}{i}\)について, 次の(1), (2)に答えなさい。 |
| (1) |
\(z\) を \(|z| \leqq 1\) を満たす実数とするとき, \(|w|\) の最大値と最小値を求めなさい。 |
| (2) |
\(z\) を \(|z| \leqq 1\) を満たす複素数とするとき, \(|w|\) の最大値と最小値を求めなさい。 |
| [5] |
行列\(A = \left(
\begin{array}{cc}
-1 & a \\
-2 & 6
\end{array}
\right)
\)
について, 次の(1), (2)に答えなさい。 |
| (1) |
\(a=5\) のとき, \(A\) の表す1次変換によって, 自分自身にうつされる直線の方程式をすべて求めなさい。 |
| (2) |
\(A\) の表す1次変換によって, 原点を中心とする円 \(C\) が長さ10の線分にうつされるとき,
\(a\) の値と円 \(C\) の半径をそれぞれ求めなさい。 |
