1-1. 3次方程式の解と係数の関係

3次方程式の解と係数の関係とは, ある3次方程式\(ax^3+bx^2+cx+d = 0\)において, \(\alpha, \beta, \gamma\)の解が与えられているとき,
解と係数に成り立つ関係のことである。

それは次のような関係である。 \(\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \end{array} \right. \end{equation}\)

証明は以下のようになる。

3次方程式\(ax^3+bx^2+cx+d = 0\)は \(\alpha, \beta, \gamma\) が解として与えられている。
そのため\((ax^3+bx^2+cx+d) = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)が成り立つ。

\(\begin{eqnarray} ax^3+bx^2+cx+d &=& a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=& a\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\}(x-\gamma)\\ &=& a\left\{x^3 - (\alpha+\beta)x^2 - \gamma x^2 + \gamma(\alpha+\beta)x + \alpha\beta x - \alpha\beta\gamma\right\}\\ &=& a\left\{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\right\}\\ &=& ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma \end{eqnarray}\)

以上より, \(ax^3+bx^2+cx+d = ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma\)
この式の両辺を\(a\)で割ると

\(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a} = x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\)
となるので, 係数を対応させると

\(\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} \frac{b}{a} = -(\alpha+\beta+\gamma) \\ \frac{c}{a} = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha \\ \frac{d}{a} = -\alpha\beta\gamma \end{array} \right. \end{equation}\)

以上の式を整理すると \(\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}\\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \end{array} \right. \end{equation}\) となる。(証明終)

1-6. \(\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| + C\)の証明

\(f(x)=t\)とおくと, \(\frac{dt}{dx} = f'(x)\)すなわち, \(dt = f'(x)dx\)

\(\begin{eqnarray} \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx &=& \int\frac{dt}{t}dx \\ \\ &=& \log|t| + C \\ \\ &=& \log|f(x)| + C \end{eqnarray}\)

以上より, \(\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| + C\) (証明終)

1-6. \(\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\)の証明

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)…①

\(\displaystyle y = \tan^{-1}x\)より, \(x = \tan{y}\)

よって, \(\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y} = 1 + \tan^2 y\)…②

①に②を代入して
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tan^2y} = \frac{1}{1+x^2}\)

したがって, \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\)
以上より, \(\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\) (証明終)