問題

曲線 \(y=x\log{x}\) に接し, 傾きが3である直線の方程式を求めなさい。

注目ポイント！

関数の接線を求める

関数を微分したものは傾きを表す

\(f(x)=x\log{x}\) , 求める直線の方程式を\(y = 3x + b\)とおく,

\(\begin{eqnarray} f'(x) &=& x'\log{x} + x(\log{x})' \\ &=& \log{x} + x・\frac{1}{x} \\ &=& \log{x} + 1 \end{eqnarray}\)

条件より, \(f'(x)=3\) すなわち, \(\log{x} + 1 = 3\)
これを解くと,

\(x = e^2\)

\(x = e^2\) を \(f(x)\) の式に代入すると,

\(\begin{eqnarray} f(x) &=& e^2\log{e^2} \\ &=& 2e^2 \end{eqnarray}\)

ここで \(x, f(x)\) の値が分かった。\(y = f(x)\)であるから,
これを求める直線の方程式 \(y\) に代入すると,

\(\begin{eqnarray} 2e^2 &=& 3・e^2+b \\ b &=& -e^2 \end{eqnarray}\)

以上より、直線の方程式の切片が分かった。

求める方程式は, \(y = 3x - e^2\)