問題

曲線 $y=x\log{x}$ に接し, 傾きが3である直線の方程式を求めなさい。

注目ポイント！

関数の接線を求める

関数を微分したものは傾きを表す

$f(x)=x\log{x}$ , 求める直線の方程式を $y = 3x + b$ とおく,

$\begin{eqnarray} f'(x) &=& x'\log{x} + x(\log{x})' \\ &=& \log{x} + x・\frac{1}{x} \\ &=& \log{x} + 1 \end{eqnarray}$

条件より, $f'(x)=3$ すなわち, $\log{x} + 1 = 3$
これを解くと,

$x = e^2$

$x = e^2$ を $f(x)$ の式に代入すると,

$\begin{eqnarray} f(x) &=& e^2\log{e^2} \\ &=& 2e^2 \end{eqnarray}$

ここで $x, f(x)$ の値が分かった。 $y = f(x)$ であるから,
これを求める直線の方程式 $y$ に代入すると,

$\begin{eqnarray} 2e^2 &=& 3・e^2+b \\ b &=& -e^2 \end{eqnarray}$

以上より、直線の方程式の切片が分かった。

求める方程式は, $y = 3x - e^2$