問題

期待値が6, 分散が2の二項分布に従う確率変数を$X$とする。$X=k$ となる確率を $P_k$ とするとき, $P_5$ は $P_4$ の何倍か。

解説

この問題では, 二項分布の場合を考えるため、二項分布でのの期待値, 分散の公式を用いる。

二項分布での期待値・分散
期待値: $E(X)=np$
　分散: $V(X)=np(1-p)$ ※n : 試行回数, p : 事象の確率

仮定から, $E(X)=6$, $V(X)=2$ であるから,
$\begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{c} np &=& 6 …①\\ np(1-p) &=& 2 …② \end{array} \right. \end{eqnarray}$
これらの式を連立して解くと, $p = \frac{2}{3}, n = 9$と求まる。

以上より, これは9回試行して成功する確率が$\frac{2}{3}$という意味になる。

ここで確率変数が $X=k$ というのは, ベルヌーイ試行を $n$ 回行い $k$ 回成功させるという意味だから,
$\large P_k = _9C_k(\frac{2}{3})^k(\frac{1}{3})^{9-k}$

$k = 4$ のとき
$\large P_4 = _9C_4(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^5$

$k = 5$ のとき
$\large P_5 = _9C_5(\frac{2}{3})^5(\frac{1}{3})^4$
であるから

$\begin{eqnarray} \frac{P_5}{P_4} &=& \frac{\large _9C_5(\frac{2}{3})^5(\frac{1}{3})^4}{\large _9C_4(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^5} \\ &=& \frac{\large \frac{2}{3}}{\large \frac{1}{3}} \\ &=& 2 \end{eqnarray}$

以上より, $P_5 = 2P_4$ であるから, $2$ 倍