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新潟県令和2年実施教員採用試験問題(数学科)解答・解説

問題

期待値が6, 分散が2の二項分布に従う確率変数をXとする。X=k となる確率を Pk とするとき, P5P4 の何倍か。

注目ポイント!

二項分布の確率変数がX=k

⇒

解答への第一歩

二項分布の期待値, 分散の式から n 回中成功する確率 p を調べる。


解説

この問題では, 二項分布の場合を考えるため、二項分布でのの期待値, 分散の公式を用いる。

二項分布での期待値・分散
期待値: E(X)=np
 分散: V(X)=np(1p) ※n : 試行回数, p : 事象の確率

仮定から, E(X)=6, V(X)=2 であるから,
{np=6np(1p)=2
これらの式を連立して解くと, p=23,n=9と求まる。

以上より, これは9回試行して成功する確率が23という意味になる。

ここで確率変数が X=k というのは, ベルヌーイ試行を n 回行い k 回成功させるという意味だから,
Pk=9Ck(23)k(13)9k

k=4 のとき
P4=9C4(23)4(13)5

k=5 のとき
P5=9C5(23)5(13)4
であるから

P5P4=9C5(23)5(13)49C4(23)4(13)5=2313=2

以上より, P5=2P4 であるから, 2



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